Машина Рамануджана

[ogn_slon]

Всю ночь бредем мы сквозь сумятицу,
Сумятицу, сумятицу,
И лишь к утру на нас накатится
Догадка, что была в крови…
     — Юрий Визбор

Сриниваса Рамануджан сформулировал множество нетривиальных гипотез о соотношениях между числами. Свои озарения он, как правило, не сопровождал доказательствами. Он вообще не любил строгость, ему вряд ли был свойственен интерес к логически последовательным алгебраическим выкладкам. Он свободно играл с числами, каким-то образом чувствовал и понимал их свойства и закономерности. Изощренная математическая интуиция позволяла ему извлекать из всего многообразия бесконечных числовых рядов те диковинные и примечательные, что неочевидным образом сводились к конечно выражаемым значениям. Многие догадки Рамануджана подтвердились, хотя иные и не выдержали строгой проверки. Его называют «индийским самородком», «повелителем чисел», «человеком, познавшим бесконечность». Он считается гением, чья безвременная кончина в 1920 на 33-м году жизни лишила нас бог весть какого количества ценных математических наблюдений, которыми он непременно поделился бы, если бы прожил дольше. Все это и многое другое о Рамануджане вы знаете и без меня, я просто воспроизвел общеизвестное (и сам с этим согласен).

Перематываем пленку на столетие вперед до лета 2019, когда было объявлено о создании «Машины Рамануджана».

Машина Рамануджана: автоматически генерируемые гипотезы о фундаментальных константах
Gal Raayoni, George Pisha, Yahel Manor, Uri Mendlovic, Doron Haviv, Yaron Hadad, Ido Kaminer
(Submitted on 29 Jun 2019)

Фундаментальные математические константы, такие как e и π, повсеместно присутствуют в самых разных научных областях от абстрактной математики и геометрии до физики, биологии и химии. Тем не менее, на протяжении столетий новые математические формулы, связывающие фундаментальные константы, были скудны и обычно обнаруживались случайно. В этой статье мы предлагаем новый и систематический подход, задействующий алгоритмы для производства новых математических формул с фундаментальными константами и помогающий выявить их структуру. Наши алгоритмы находят десятки как хорошо известных, так и ранее неизвестных представлений π, e и значений дзета-функции Римана в виде непрерывных дробей. Вот две новые гипотезы, созданные нашим алгоритмом наряду с другими:



Мы представляем два алгоритма, доказавшие свою полезность при поиске новых результатов: вариант алгоритма встречи посередине (Meet-In-The-Middle, MITM) и градиентного спуска (Gradient Descent, GD), приспособленные под рекуррентную структуру непрерывных дробей. Оба алгоритма основаны на подборе совпадающих численных значений и обнаруживают таким путем новые предполагаемые соотношения, при этом не предоставляя доказательств и не требуя предварительных знаний о каких-либо математических структурах. Данный подход, обращающий конвенциональный подход последовательной логики в формальных доказательствах, особенно привлекателен применительно к фундаментальным константам, математическая структура которых неизвестна. Взамен конвенционального, наша работа предлагает концептуально новый подход к исследованиям: компьютерные алгоритмы, использующие численные данные для выявления новых внутренних структур и гипотез, тем самым играющие роль математической интуиции великих математиков прошлого и подсказывающие направления новых математических исследований.

Источник: arXiv:1907.00205 (переведено на русский автором данного блога).

Выдержат ли алгоритмически сгенерированные гипотезы подходящую модификацию теста Тьюринга? Например, можно предложить студентам-математикам угадать про подборку формул вперемешку, какие из них придумал Рамануджан, а какие созданы компьютером. Сумеют ли атрибутировать лучше, чем бросая монетку?

Если кто-то может указать принципиальное различие между провидческими догадками гениальных математиков и безжизненными гипотезами примитивных алгоритмов — говорите сейчас или молчите вечно добро пожаловать в комментарии.