Задачка по математике
Aug. 17th, 2009 05:49 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
ogn_slonПодсмотрел красивую и, я бы даже сказал, поучительную задачку по математике. Как по мне, задачка сложная и коварная, и я бы ее не решил. При этом авторское решение довольно короткое, если опустить некие трудоемкие, но не очень интересные детали. Итак:
Для положительных x < 1 рассмотрим знакочередующийся ряд:
S(x) = x – x2 + x4 – x8 + x16 – x32 + ...
Существует ли предел S(x) при x стремящемся слева к 1, и если существует, то чему он равен?
Комментарии не скрываются, так как я не уверен, что их будет много. :)
UPD 18 авг: Пока задачу никто не решил, хотя было высказано одно верное соображение. Но я рад неожиданно высокой матактивности. :) Присоединяйтесь, решайте, доказывайте — лавры победителя пока никому не отданы!
UPD 21 авг: На данный момент большинство участников обсуждения склоняются к тому, что искомый предел существует и равен 1/2. Было предложено несколько подходов к доказательству существования предела, но ни один из них пока не реализован. Зато доказано, что если предел существует, то он в самом деле равен 1/2. Любопытно, что ключевой ход в авторском решении задачи (к которому пока никто близко не подступился) не требует прочных знаний математики. Ключевой ход, в принципе, способен сделать кто угодно, но этот ход представляется мне весьма неожиданным и даже, можно сказать (пусть и не без преувеличения), шокирующе неожиданным. :)
Хотя нет, на самом деле один из комментариев ведет ровно в нужном направлении. Но совсем чуть-чуть не доводит (умолчу, на сколько «чуть-чуть»). :) Так что я зря написал в предыдущем абзаце, что никто близко не подступился к ключевому шагу решения.
UPD 20 окт 2010 г.: Сделан ещё один важный шаг к решению, и я прокомментировал его и открыл новую запись для продолжения обсуждения, вот здесь.
UPD 22 окт 2010 г.: Задачу добили, вот здесь см. подведение итогов и информацию об авторе.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2009-08-17 02:06 pm (UTC)Если существует, то только 1/2. Это следует из равенства: S(x) = x - S(x^2) для -1 < x < 1 (то есть там, где ряд сходится). Переходя к пределу в обеих частях при х стремящихся к 1 снизу, получим: S(1-) = 1 - S(1-), откуда S(1-) = 1/2.
no subject
Date: 2009-08-17 02:16 pm (UTC)1. Поскольку х стремится к 1, на него можно сократить.
2. Получаем единицу, из которой то примерно единицу вычитают, то примерно ее же прибавляют.
3. То есть идет болтанка между единицей и нулем, а значит между ними находится как бы их среднее - 0,5.
no subject
Date: 2009-08-17 02:41 pm (UTC)no subject
Date: 2009-08-17 03:39 pm (UTC)no subject
Date: 2009-08-17 06:53 pm (UTC)Возьмем ряд: 1-x+x^3-x^4+x^6-x^7+... = (1-x)*(1+x^3+x^6+...) = (ряд во вторых скобках - сумма геометрической прогрессии со знаменателем x^3) = (1-x)*(1/(1-x^3)) = (сокращая числитель и знаменатель дроби на 1-х) = 1/(1+x+x^2).
Последнее выражение стремится к 1/3 (не к 1/2!), при x стремящемся к 1, в то время как частичные суммы ряда при x = 1 - те самые 10101010101...
no subject
Date: 2009-08-18 05:42 am (UTC)no subject
Date: 2009-08-18 05:42 am (UTC)no subject
Date: 2009-08-18 09:59 am (UTC)no subject
Date: 2009-08-18 10:04 am (UTC)Уверен, что в случае успеха ты не пожалеешь затраченного времени. :)
no subject
Date: 2009-08-20 11:16 am (UTC)fiviol> При том только, что она смутно всплывала в голове. :)
fiviol> Она про другое, согласен.
Возможно, мой ЖЖ-анонимный однокашник Дмитрий знает, какой Абель смутно всплывал у тебя в голове. :) См. его анонимный коммент ниже.
no subject
Date: 2009-08-20 05:01 pm (UTC)У меня есть некоторое подобие рассуждения: вторая производная S(x) на всем интервале сходимости вроде бы оказывается положительной, а так как частичные суммы ограничены (0 и 1 сверху и снизу), то и сама сумма ограничена, и ничего другого непрерывной функции не остается, как иметь предел.
no subject
Date: 2009-08-20 05:37 pm (UTC)А я, пожалуй, повторю то, что сказал в ответ на другой коммент:
Решение содержит неожиданный ход. Я бы даже сказал, шокирующий ход. :)
no subject
Date: 2009-08-21 05:28 am (UTC)no subject
Date: 2009-08-17 02:13 pm (UTC)no subject
Date: 2009-08-18 05:43 am (UTC)no subject
Date: 2009-08-17 02:48 pm (UTC)не знаю. :) (думал разложу и хорошо будет, аннет, потом еще подумаю)
no subject
Date: 2009-08-18 05:43 am (UTC)no subject
Date: 2009-08-17 06:49 pm (UTC)Примем, как очевидное, что S(x) при x<1 существует и гладкая.
S(x) = x - x^2 + S(x^4)
(S(x) - S(x^4)) / (x - x^4) = (x - x^2) / (x - x^4) = (1-x) / (1-x^3)
Левая часть стремится к тому же пределу, что и производная S'(x)
Правая часть стремится к 0
Значит, производная S'(x) стремится к 0
Функция, производная которой стремится к 0 при x стремящемся к 1 слева, очевидно, имеет предел. А вот чему он равен, из этих рассуждений не вывести.
no subject
Date: 2009-08-17 07:13 pm (UTC)no subject
Date: 2009-08-18 05:49 am (UTC)no subject
Date: 2009-08-18 05:49 am (UTC)Точнее, к 1/3. :)
no subject
Date: 2009-08-18 05:54 am (UTC)Но если к 1/3, то можно заявить, что производная будет ограничена в какой-то левой окрестности единицы, и тогда предел тоже существует.
no subject
Date: 2009-08-18 05:58 am (UTC)no subject
Date: 2009-08-17 09:55 pm (UTC)2. Сходится он явно к 1/2. Доказать не могу, но зато написал скрипт, который считает сумму для четырёх значений x при n=19 и n=20: http://www.orientwatch-japan.ru/posled.php.
Последний раз задачи про сходимость рядов решал в 1995 году, так что пришлось немного пошуровать в Яндексе. Ну и думаю, всё-таки ты хотел от читателей другого решения :D
no subject
Date: 2009-08-18 05:51 am (UTC)Только не в точке 1.
> Ну и думаю, всё-таки ты хотел от читателей другого решения :D
Ага, хотел правильного. И по-прежнему хочу. :)
no subject
Date: 2009-08-18 01:22 pm (UTC)no subject
Date: 2009-08-18 01:28 pm (UTC)no subject
Date: 2009-08-18 01:36 pm (UTC)no subject
Date: 2009-08-18 01:42 pm (UTC)no subject
Date: 2009-08-18 03:12 pm (UTC)no subject
Date: 2009-08-18 05:15 pm (UTC)Смотря как ты решаешь задачу.
У тебя есть функциональный ряд, сходящийся в интервале (-1, 1). А спрашивают тебя, как ведет себя сумма ряда при приближении к 1, то есть к той точке, где ряд расходится и сумма не определена. Она вообще-то может себя вести очень разными способами, эта сумма, при приближении к точке, где ряд перестает сходится.
Например, вот простая сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
S(x) = 1 + x + x^2 + x^3 +...
Тогда S(x) = 1/(1-x)
В точке 1 ряд расходится, и S стремится к бесконечности.
А к чему стремится S (и стремится ли к чему-либо) в более сложном случае, который сформулирован в обсуждаемом задании?
Не нужно предполагать априори, что если ряд сходится вблизи 1, то с его суммой всё будет хорошо и легко предсказуемо и в точке 1 тоже. Это не обязано быть правдой. Как раз от тебя требуется выяснить и доказать поведение S при приближении аргумента к 1.
Частичный результат: ряд в точке 1 ограничен сверху и с
Date: 2009-08-20 10:08 am (UTC)Если а(n) - коэффициент степенного ряда, а S(n) - сумма первых n коэффициентов, то верхний и нижний пределы (S(1)+...+S(n))/n при n стремящемся к бесконечности ограничивают значение (предел)самого ряда в 1-0.
2. В нашем случае частичные суммы коэффициентов S(n) равны либо 0 либо 1. Но последовательность средних арифметических S(n) не сходится: верхний предел 2/3, нижний 1/3. Я сначала думал, что сходится, но Константин мне справедливо указал, что это сомнительно.
3. Соображение, которое пока не готов проверять (придется суммировать кусочные функции). Можно усилить признак Абеля и делить на n*n сумму сумм S(n), может чего и получится. Так как для самих S(n) верхний предел 1, а нижний 0, т.е. при первом переходе к усреднению отрезок сузился до 1/3-2/3.
4. Использованный признак Абеля на мой взгляд не очевидный, хотя доказывается просто. Сам я бы не додумался, что усреднение для коэффициентов может давать пределы для самих рядов.
5. Замечания. Поскольку радиус сходимости ряда 1, то на единичной окружности есть особая точка аналитической функции, определенной внутри круга этим рядом. Умножая эту особую точку на всевозможные корни из единицы степени 2 в степени n получим, что особые точки плотны на окружности (так как остатки рядов для особой точки и ее модификаций будут совпадать). Т.е. наш ряд ведет себя на границе круга плохо и м.б. непрерывной функцией при |х|=1 лишь при ограничении на радиусы. Следовательно, нельзя получить конечную формулу типа 1/(1+q) (как для знакопеременной геометрической прогрессии, хотя в ее случае и признак Абеля дает в единице значение ряда 1/2), дающую аналитическое продолжение в 1, т.к. формула была бы аналитична в единице. У меня, таким образом, остается надежда лишь на доказательство непрерывности ряда в 1, а потом можно воспользоваться функциональным тождеством по непрерывности.
Re: Частичный результат: ряд в точке 1 ограничен сверху и
Date: 2009-08-20 11:09 am (UTC)1. До твоего письма я не знал признака Абеля наличия предела частных сумм степенного ряда слева в точке 1. Да, он вроде бы уместен для анализа предложенной задачи, хотя авторское решение на столь экзотические факты не опирается.
2. Я не совсем понял по твоей формулировке выше: в данном случае признак Абеля что-то утверждает о существовании предела суммы ряда S(x) в 1-, или он лишь позволяет оценить сверху и снизу значение этого предела при условии, что предел существует? Я к тому, что функциональное соотношение для суммы ряда S(x) точно указывает, что предел равен 1/2, ЕСЛИ ПРЕДЕЛ СУЩЕСТВУЕТ. Это с самого начала установил
Про 3-5 ничего не могу сказать.
Вообще, можешь попробовать все-таки решить задачу намеченным тобой путем, если по-прежнему веришь в его релевантность. Но имей в виду:
Авторское решение ясное, довольно короткое и не опирается на малоизвестные факты.
Re: Частичный результат: ряд в точке 1 ограничен сверху и
Date: 2009-08-21 09:06 am (UTC)Признак Абеля дает оценки для верхнего и нижнего пределов ряда в 1-0 через верхний и нижний предел средних арифметических. А уже из этого следует, что: если средние арифметические сходятся, то есть и предел ряда в 1-0.
Re: Частичный результат: ряд в точке 1 ограничен сверху и
Date: 2009-08-21 09:56 am (UTC)Re: Частичный результат: ряд в точке 1 ограничен сверху и
Date: 2010-10-03 05:21 pm (UTC)Чтобы примерно понять, где копать, сначала посмотрел, что про поведение этой функции говорит Maple. А говорит он, что, возможно, предела-то и нет...
Re: Частичный результат: ряд в точке 1 ограничен сверху и
Date: 2010-10-08 03:23 pm (UTC)Re: Частичный результат: ряд в точке 1 ограничен
Date: 2010-10-20 06:07 pm (UTC)Странно было бы, на мой взгляд, чтобы они стабилизировались на этом уровне ~ 0,5 +- 0,0028. Нечего им там делать.:)
Re: Частичный результат: ряд в точке 1 ограничен
Date: 2010-10-20 06:31 pm (UTC)И вот:
no subject
Date: 2009-08-20 04:06 pm (UTC)Функция представима в виде: x + (x^4 - x^2) + (x^16 - x^8) + ...
При х->1 каждая из представленных разностей стремится к 0. Следовательно, предел суммы всех членов = 1.
Меня вдохновляет только то, что это "решение" короткое и не опирается на малоизвестные факты :)
no subject
Date: 2009-08-20 04:39 pm (UTC)> Меня вдохновляет только то, что это "решение" короткое
> и не опирается на малоизвестные факты :)
Это да. :) Но все-таки задача сложная, так что решение подлиннее и содержит неожиданный ход. Я бы даже сказал, шокирующий ход. :)
no subject
Date: 2009-08-20 05:52 pm (UTC)По существу. Бесконечные суммы (ряды) кардинально отличаются от конечных сумм. Не все соображения, верные для конечных сумм, остаются верными и для рядов. Особенно непривычные вещи происходят при приближении переменной к точке, где функциональный ряд расходится, то есть где бесконечной сумме вообще нельзя разумно приписать какое-либо значение.
В частности, если ряд расходится в точке 1, то нельзя лишь на основании наблюдений за поведением членов ряда заявлять, что таким же будет и поведение всей суммы при приближении к 1. Да, при некоторой группировке все члены стремятся к нулю, кроме первого, который стремится к 1, но это не значит, что весь ряд стремится к 1. Сумма бесконечного числа "стремлений к нулю" может оказаться какой угодно. См. Витин пример в комменте выше:
http://ogn-slon.livejournal.com/25945.html?thread=135001#t135001
Тут тоже можно сгруппировать члены ряда так, что все разности будут стремиться к нулю, а первый член - к единице. При этом бесконечная сумма (всего ряда) преспокойно стремится себе к 1/3, а не к 1 (и не к 0, и не к 1/2 и т.д.)
no subject
Date: 2009-08-20 10:26 pm (UTC)no subject
Date: 2009-08-20 10:52 pm (UTC)x + (x^2 - x)(x^2 + x)(1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + ...)
При x < 1 сумма положительных степеней сходится, т.е. предел при 1- конечен. При этом (x^2 - x) - бесконечно малая. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую дает бесконечно малую => в остатке имеем х, который стремится к 1.
no subject
Date: 2009-08-21 06:29 am (UTC)Верно. Но это видно сразу: при -1 < x < 1 ряд сходится.
> т.е. предел при 1- конечен.
Да нет же! :) Из сходимости ряда при x < 1 НЕ следует наличие у его суммы предела при x стремящемся к 1-. Я уже приводил простой пример: сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (при x < 1 ряд сходится, а в 1- сумма стремится к бесконечности).
Задача именно и состоит в том, чтобы понять поведение суммы при приближении аргумента к "гадкой" единице.
Твое преобразование исходной суммы в новый агрегат, думаю, ошибочно, хотя я с ним, честно говоря, не разбирался.
Соображения не давшие результата
Date: 2009-08-21 10:23 am (UTC)2. Или если бы доказать, что ряд монотонен по х (я кстати верю в это, но и сомневаюсь тоже). Так и хочется сказать: "Даешь монотонность!" Ведь ряд 1-х+х^2-х^3+... для 1/(1+х) может же.
Re: Соображения не давшие результата
Date: 2009-08-21 10:52 am (UTC)> "Даешь монотонность!" Ведь ряд 1-х+х^2-х^3+... для 1/(1+х) может же.
Думаешь, наш ряд взревнует и омонотонится (если ещё не)? :)
Re: Лозунг о монотоности отменяется...
Date: 2009-08-21 12:20 pm (UTC)А раз "стабилизировавшихся" нулей достаточно, то и ограниченность вариации под вопросом, поскольку не ясно как ее считать. А производная частичной суммы ряда должна принимать около единицы большие значения разные по знаку. Т.е. как оценить интеграл от модуля производной мне не ясно.
Re: Лозунг о монотоности отменяется...
Date: 2009-08-21 12:33 pm (UTC)