Задачка по математике

[ogn_slon]

Подсмотрел красивую и, я бы даже сказал, поучительную задачку по математике. Как по мне, задачка сложная и коварная, и я бы ее не решил. При этом авторское решение довольно короткое, если опустить некие трудоемкие, но не очень интересные детали. Итак:

Для положительных x < 1 рассмотрим знакочередующийся ряд:

S(x) = x – x² + x⁴ – x⁸ + x¹⁶ – x³² + ...

Существует ли предел S(x) при x стремящемся слева к 1, и если существует, то чему он равен?


Комментарии не скрываются, так как я не уверен, что их будет много. :)

UPD 18 авг: Пока задачу никто не решил, хотя было высказано одно верное соображение. Но я рад неожиданно высокой матактивности. :) Присоединяйтесь, решайте, доказывайте — лавры победителя пока никому не отданы!

UPD 21 авг: На данный момент большинство участников обсуждения склоняются к тому, что искомый предел существует и равен 1/2. Было предложено несколько подходов к доказательству существования предела, но ни один из них пока не реализован. Зато доказано, что если предел существует, то он в самом деле равен 1/2. Любопытно, что ключевой ход в авторском решении задачи (к которому пока никто близко не подступился) не требует прочных знаний математики. Ключевой ход, в принципе, способен сделать кто угодно, но этот ход представляется мне весьма неожиданным и даже, можно сказать (пусть и не без преувеличения), шокирующе неожиданным. :)

Хотя нет, на самом деле один из комментариев ведет ровно в нужном направлении. Но совсем чуть-чуть не доводит (умолчу, на сколько «чуть-чуть»). :) Так что я зря написал в предыдущем абзаце, что никто близко не подступился к ключевому шагу решения.

UPD 20 окт 2010 г.: Сделан ещё один важный шаг к решению, и я прокомментировал его и открыл новую запись для продолжения обсуждения, вот здесь.

UPD 22 окт 2010 г.: Задачу добили, вот здесь см. подведение итогов и информацию об авторе.

Comments

Re: Лозунг о монотоности отменяется...

[(Anonymous)]

Взял такую частную сумму для производной, что все 14 знаков экселя не меняются от взятия следующего члена и нашел численно кучу нулей у производных частичных сумм, первый - 0.9805, а дальше десяток явно видно. Логично, что нули должны были быть, так как в 1 четные частичные суммы ряда равны нулю, нечетные - единице, а функциям надо и туда и туда успеть. Но вот незадача, нули "стабилизируются", то есть при росте порядка приближения ряда частичной суммой не сползаются к единице, как хотелось бы.

А раз "стабилизировавшихся" нулей достаточно, то и ограниченность вариации под вопросом, поскольку не ясно как ее считать. А производная частичной суммы ряда должна принимать около единицы большие значения разные по знаку. Т.е. как оценить интеграл от модуля производной мне не ясно.

Re: Лозунг о монотоности отменяется...

[ogn-slon.livejournal.com]

Sic!